n次方程式の解の公式(まだ未整理)

はてなブログ初心者のためまだ未完成ですが自分がみやすいので公開しておきますがまだみないでください

*1 n次方程式の解の公式というタイトルですが考察するのは4次までなので安心してください.

ガロア理論の目標

5次以上の方程式は代数的に解けない(解けないとはいってない)

そもそも方程式を解くというのはどういうことであり, 代数的に解けないというのはどういうことなのでしょうか? それらを見ていく必要があると思います. つまり,代数的に解けないということを考察するのにそもそもどうして解くことができるのか?という視点を考えるということです.

その前に少し用語の説明などはしておいた方が良いと思ったので先にしておきます.

{K}上というのは一般的な体を表すのに使います.また{L}上なども使用します. 体という言葉を私は世界と呼ぶことがあります。 例えば有理数体という代わりに有理数の世界と表現したりします。 また多項式については根,方程式については解という表現を使用します.

一次方程式の解の公式

ax=bを解けと言われたら0ではない場合は素直に割り算ができる(公式という言葉は造語である) これに関しては特にいうことはないと思うので飛ばします

環の準同型
体の同型
二次方程式の解の公式

今度は ax^{2}+bx+c=0を解けと言われたら知っている知識を使うかもしれない。 ここではそもそも係数というものに注目する aで割り算をして式を整理すると

x^{2}+ax+b=0という有理数係数の方程式の解についての考察になります.

ここで解と係数の関係を考えてみましょう

解と係数の関係

そもそも解と係数の関係というのはなぜこのような名前がついているんでしょうね。 あくまで私見ですが、多項式は係数と根が大事です。どこの世界に係数が属しているかということです。また同様に

多項式の定義

多項式の定義を見るとかなり面食らうと思いますがゆっくりみていきましょう 代入という私たちが当たり前のようにやってきた操作 要するに係数と変数xの組に過ぎないという意識だ。 (a_1,a_2...a_n 有理数係数の方程式が有理数に解をいつでも持つか?と言われたらそうではないということは容易にわかるだろう 例えばx^{2}=2を解けと言われたら\sqrt2

対称式

一般的には対称式は少し面倒な理論があるのだがここではあくまでも2次に限って考える そうするとf(x)=x^{2}+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)のように因数分解できる. ただしこの時点で根はどこの世界にあるかということは言っていない。 常に上にあるとは限らないのだから

三次方程式の解の公式

ax^{3}+bx^{2}+cx+dについて 適当な式変形によって以下のようにできます.

四次方程式の解の公式

*1:はてなブログ初心者のためまだ未完成ですが自分がみやすいので公開しておきますがまだみないでください

ガロア理論準備(ぼやき)

今日からガロア理論を書いていこうと思うけれどどこから考えていこうかはまだ決まっていない。 最終回は決まっているのだけど その前に体論というものを学ぶ必要があると思う。 体論というのは四則演算が可能な代数系であり有理数などがある。 有理数の世界に根を「添加」して拡大体を構成したり、その最小だったり世界の果てのようなものについて考察していくという一通りの 体論の学習が必要になってくると思う。 それと並行として当然だが群や環といった代数全般についても学習しなければならない。私がなぜこのようにバラバラに適当に書いているかというと私自身はある程度代数学を勉強したのちにガロア理論に関する書籍にたくさん触れて、その後で代数学の本を読むと非常に楽しく読めたからだ。

はてなブログについて

アカウント自体はとうの昔に作っていたらしいのですが結局今日までろくに書くこともなかったので これからは少し勉強したことや勉強中のことなども含めてアウトプットをしていこうと思います。 デザインの変更によりかなり可愛く仕上がってやる気が出てきたので記事をたくさん書きたいと思います。 今日はカテゴリーを追加したり全体としてブログの使い方を知らなかったのですが少しは覚えました。

解析学のtex練習

微分積分や極限の記号について練習したいと思います

双曲線関数

 \displaystyle  \sinh x  = \frac{\exp (x)- \exp (-x) }{2}

 \displaystyle   \cosh x  = \frac{\exp (x) + \exp (-x) }{2}

 \displaystyle   \tanh x  = \frac{\sinh x }{\cosh x}

双曲線関数微分

 \displaystyle  ( \sinh x )^{\prime}  = \frac{\exp (x) + \exp (-x) }{2} =  \cosh x

 \displaystyle   ( \cosh x )^{\prime} = \frac{\exp (x) - \exp (-x) }{2} = \sinh x

\primeで出せますね そこまで難しくないです

ガウス積分

\displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}\exp(-x^ 2)dx=\sqrt{\pi}

といったものですね.練習で適当な積分を書いてみます