n次方程式の解の公式(まだ未整理)

~~はてなブログ初心者のためまだ未完成ですが自分がみやすいので公開しておきますがまだみないでください~~

*1 n次方程式の解の公式というタイトルですが考察するのは4次までなので安心してください.

ガロア理論の目標

5次以上の方程式は代数的に解けない(解けないとはいってない)

そもそも方程式を解くというのはどういうことであり, 代数的に解けないというのはどういうことなのでしょうか？それらを見ていく必要があると思います. つまり,代数的に解けないということを考察するのにそもそもどうして解くことができるのか？という視点を考えるということです.

その前に少し用語の説明などはしておいた方が良いと思ったので先にしておきます.

${K}$ 上というのは一般的な体を表すのに使います.また ${L}$ 上なども使用します. 体という言葉を私は世界と呼ぶことがあります。例えば有理数体という代わりに有理数の世界と表現したりします。また多項式については根,方程式については解という表現を使用します.

一次方程式の解の公式

$ax=b$ を解けと言われたら0ではない場合は素直に割り算ができる(公式という言葉は造語である) これに関しては特にいうことはないと思うので飛ばします

環の準同型

体の同型

二次方程式の解の公式

今度は $ax^{2}+bx+c=0$ を解けと言われたら知っている知識を使うかもしれない。ここではそもそも係数というものに注目する aで割り算をして式を整理すると

$x^{2}+ax+b=0$ という有理数係数の方程式の解についての考察になります.

ここで解と係数の関係を考えてみましょう

解と係数の関係

そもそも解と係数の関係というのはなぜこのような名前がついているんでしょうね。あくまで私見ですが、多項式は係数と根が大事です。どこの世界に係数が属しているかということです。また同様に

多項式の定義

多項式の定義を見るとかなり面食らうと思いますがゆっくりみていきましょう代入という私たちが当たり前のようにやってきた操作要するに係数と変数xの組に過ぎないという意識だ。 $(a_1,a_2...a_n$ 有理数係数の方程式が有理数に解をいつでも持つか？と言われたらそうではないということは容易にわかるだろう例えば $x^{2}=2$ を解けと言われたら $\sqrt2$